Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, lindi në shekullin e XIX si disiplinë matematike,
është paraprijëse e matematikes moderne, sepse ndanë përfaqësuesin
(p.sh. numrat reale) nga struktura e brendshme (ligjet e llogaritjes në
grupe).

Punime të çmueshme në teorinë e grupeve kanë dhënë ndër të tjerë Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Çifti i renditur (G, ×), ku G është një bashkësi dhe × është një veprim
i brendshëm mbi G, quhet grup, në qoftë se plotësohen këto aksioma :

1. vetia asociative: a × (b × c) = (a × b) × c për të gjithë elementet a, b, c nga G.
2. elementi neutral / (elementi unitar): Një element e (quhet edhe
njësh, element njësi) në G ekziston, ashtu që për të gjithë elementet a
nga G vetia e × a = a është në fuqi.
3. element simetrik / (i anasjelltë): Për çdo element a në G ekziston një element b, ashtu që a × b = b × a = e të plotësohet.

(Nganjëherë merret si aksiomë e parë "aksioma e mbylljes" sipas së
cilës për çdo dy elemente a,b nga G, atëherë a × b është poashtu në G.
Mirëpo, kjo "aksiomë" rrjedh nga përkufizimi i veprimit të brendshëm,
andaj nuk ka nevojë të shkruhet si e veçantë.)

Në qoftë se në grupin (G, ×) vlen a × b = b × a, për çdo element a, b
nga G, atëherë (G, ×) quhet grup abelian (ose ndërrimtar ose komutativ).

Kur është e qartë se punojmë me veprimin ×, atëherë, në vend të (G, ×), themi se G është grup.

Direkt nga aksiomat e grupit rrjedhin këto pohime:

Në qoftë se për elementin neutral e të grupit G është në fuqi ekuacioni
e x a = a për çdo a nga G, atëherë edhe ekuacioni a x e = a plotësohet:
a = e × a = (a × b) × a = a × ( b × a) = a × e , kështu që a = e × a =
a × e.

Në çdo grup elementi neutral është i vetëm: Le të jenë e edhe e' dy
elemente neutrale në grupin G. Atëherë ndjek qe e = e × e' = e', kështu
qe e = e'.

Pra ne mund të flasim për elementin neutral të grupit G.

Për çdo element a, elementi simetrik për të është i vetëm, sepse: Le të
jenë b dhe b' dy elemente simetrike për elementin a, kështu që a × b =
b × a = e dhe a × b' = b' × a = e. Atëherë ndjek që b = b × e = b × ( a
× b') = (b × a) × b' = e × b' = b'. Prandaj ne mund të flasim për
elementin simetrik të elementit a.

Në qoftë se veprimi × mbi grupin G është shënuar me mënyrën e
shumëzimit, atëherë zakonisht elementi neutral shënohet me 1, kurse
elementi simetrik për a shënohet me a-1. Kurse, në rastet kur veprimi ×
mbi grupin G është shënuar me mënyrën e mbledhjes, atëherë zakonisht
elementi neutral shënohet me 0, kurse elementi simetrik për a shënohet
me -a.

Duhet theksuar se zakonisht × shënohet me mënyrën e mbledhjes kur kemi të bëjmë me një grup abelian.